Relación pitagórica | |
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Identidad de la razón |
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
sen | ||||||
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cos | ||||||
tan | ||||||
cot | ||||||
sec | ||||||
csc |
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
== Teoremas de la
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
Para ángulos complementarios:
Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces[editar] Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).Seno | |||
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Coseno | |||
Otros |
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.Deducción de la identidad
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
1):
2):
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma)
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y).
Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
Paso de suma a producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:Paso de diferencia de cuadrados a producto
¿De donde se origina?
1) recordando:multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Eliminar seno y coseno
A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.Funciones trigonométricas inversas
Composición de funciones trigonométricas
Fórmula de productos infinitos
Seno | Coseno |
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Teorema del seno
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y CDemostración
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces: |
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. |
b = qa + c − 2abcosb
Aplicación
El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.Definiciones exponenciales
Función | Función inversa |
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