jueves, 2 de junio de 2011

Relaciones básicas
Relación pitagórica\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,
Identidad de la razón\tan \theta = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si \scriptstyle\operatorname{sen} \theta \,=\, 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que \scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} = \sqrt{3}/2, aunque es posible que \scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2. Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
sen \operatorname{sen} \theta\  \sqrt{1 - \cos^2\theta}  \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}  \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}

cos \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}  \cos \theta\  \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}  \frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}

tan \frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}  \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}  \tan \theta\  \frac{1}{\cot \theta}

cot {\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta}  {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}  {1 \over \tan\theta}  \cot\theta\

sec {1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}  {1 \over \cos \theta}  \sqrt{1 + \tan^2\theta}  {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}

csc {1 \over \operatorname{sen} \theta}  {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}  {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}  \sqrt{1 + \cot^2 \theta}


De las definiciones de las funciones trigonométricas:
 \tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}
\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
 \operatorname{sen}(-x) = \operatorname{sen}(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)
  \tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\operatorname{sen}\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)
\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
\operatorname{sen}(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}
\qquad \operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\tan^{-2}(x)}}
\operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}}
\qquad \operatorname{sen}(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}
y análogamente con las restantes funciones .
== Teoremas de la
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
 \operatorname{sen}(x \pm y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) \pm \cos(x) \operatorname{sen}(y)
 \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)
\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
 \operatorname{sen}(\pi \pm x) = \mp\operatorname{sen}(x)
 \cos(\pi \pm x) = -\cos(x)
 \tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)
 \csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)

Para ángulos complementarios:
 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)
 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{sen}(x)
 \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)
 \csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)
 \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)
 \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
Para ángulos opuestos:
 \operatorname{sen}\left(-x\right) = -\operatorname{sen}\left(x\right)
 \cos\left(-x\right) = \cos\left(x\right)
 \tan\left(-x\right) = -\tan\left(x\right)
 \csc\left(-x\right) = -\csc\left(x\right)
 \sec\left(-x\right) = \sec\left(x\right)
 \cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right)

Identidades del ángulo múltiple

Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces
 \operatorname{cos}(nx)=T_n(\cos(x)).
Fórmula de De Moivre:
 \operatorname{cos}(nx)+i\operatorname{sen}(nx)=(\cos(x)+i\operatorname{sen}(x))^n

[editar] Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea \operatorname{sen}(x+x)=\operatorname{sen}(2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\operatorname{sen}^3\theta = \frac{3 \operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen} 3\theta}{4}
Coseno\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}
Otros\operatorname{sen}^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\operatorname{sen}^3\theta \cos^3\theta = \frac{\operatorname{sen}^3 2\theta}{8}

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}
\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}
\operatorname{sen}(x) \cos(y) = {\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) \over 2}
\cos(x) \operatorname{sen}(y) = {\operatorname{sen}(x + y) - \operatorname{sen}(x - y) \over 2}

Deducción de la identidad

\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
 \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):  \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)
2):  \cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3): \cos(x) \cos(y)=  \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma)
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y).

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}
Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (ab) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
\operatorname{sen}(a) + \operatorname{sen}(b) = 2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)
\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)
\cos(a) - \cos(b) = -2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)
\operatorname{sen}(a) - \operatorname{sen}(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)

Paso de diferencia de cuadrados a producto

1)sen^2(x)-sen^2(y)=sen(x+y)sen(x-y)\,
2)cos^2(x)-sen^2(y)=cos(x+y)cos(x-y)\,

¿De donde se origina?

1) recordando:
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)\,
cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y)\,
multiplicando
cos(x+y)cos(x-y)= cos^2(x)cos^2(y)-sen^2(x)sen^2(y)\,
Sabemos que:
sin^2(x)+cos^2(x)=1\,
sin^2(y)+cos^2(y)=1\,
el la primera ecuación transponemos cos^2(x)\, y en la segunda sen^2(y)\,
De tal manera que obtendremos:
sen^2(x)=1-cos^2(x)\,
cos^2(y)=1-sen^2(y)\,
aplicando esto en la ecuación inicial
cos(x+y)cos(x-y)= cos^2(x)(1-sen^2(y))-sen^2(x)(1-cos^2(y))\,
multiplicando
1)sen^2(x)-sen^2(y)=sen(x+y)sen(x-y)\,
De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
 \operatorname{sen}{\left( x \right)} = \frac{\tan{\left( x \right)}}{ \sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }
 \operatorname{sen}{\left( x \right)} = {2} \operatorname{sen}{\left( \frac{1}{2} x \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} x \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}
 \cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}

Funciones trigonométricas inversas

\arctan(x)+\arccot(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\  -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..
\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

Composición de funciones trigonométricas





\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=1-x^2
\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=\frac{x^2}{1+x^2}
\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}

\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,
\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=1-x^2
\cos^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}

Fórmula de productos infinitos

SenoCoseno

\operatorname{sen} x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\operatorname{sen}h x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)

\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right) 

Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
\frac{a}{\operatorname{sen}(A)}= \frac{b}{\operatorname{sen}(B)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(C)}

Demostración


El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}=2R.

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

b = qa + c − 2abcosb

Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.


Definiciones exponenciales
FunciónFunción inversa
\operatorname{sen} \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,
\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,\arctan x = \frac{i \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)}{2} \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,
\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,\arccot x = \frac{i \ln \left(\frac{i - x}{i + x}\right)}{2} \,
\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,

 

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